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进行数值计算,不可避免地会产生误差。所谓误差,就是计算结果与准确值之差。误差有以下3类来源:(1)输入误差或数据误差。这是因为对每一个输入数据,计算机只存储固定的若干位有效数字,其余部分将被舍去。(2)截断误差。这种误差产生于所选用的计算公式。(3)舍入误差。计算的中间值或最后结果存入计算机时截取有效数字所产生的误差。从不同角度考察,误差又分为相对误差和绝对误差。相对误差是误差与准确值之比,也就是误差相对于准确值的大小。绝对误差则是误差的绝对的大小。计算机执行乘除法运算指令时,常用浮点数的方法以减小相对误差。这是因为小于1的数多次进行乘法运算结果可能消失为零。至于加减法运算,两个相近的数相减,时常难于避免相对误差变大。
误差的传播是误差分析的一个重要方面,因为计算过程通常是相当长的,每次得到的中间结果都可能产生新的误差,误差在计算过程中可能不断积累,如不对误差传播进行系统研究我们就无从判断最终结果的可信程度。
在两近似数进行乘除运算时,结果的相对误差,是参与运算两数相对误差的代数和,因此乘除运算时相对误差传播不快。多个近似数求和产生的绝对误差等于各数绝对误差的代数和,而相对误差则可能因为有效数字的损失而变大。上述这些结论不难从简单的微积分和算术知识推得。在利用公式计算出数值时,例如用泰勒展开式前几项计算三角函数的值,也会产生误差的传播,其传播的具体情况依具体函数及所采用的公式而定。应该指出,大批量数据处理时,误差呈现一定的统计规律。因此应从统计的角度考虑误差的积累。


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